La fórmula de Euler-Poincaré

Una fórmula de andar por casa.

Los matemáticos L.Euler y H. Poincaré crearon esta fórmula, que es tan fácil de aplicar como contar las caras, aristas y vértices de una figura que encontremos en casa y ver que siempre es 2.

CARAS - ARISTAS + VÉRTICES = 2

Sin embargo, esta fórmula sólo se cumple para ciertos sólidos: los poliedros regulares.

¿Qué es un poliedro?

Un poliedro es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra un volumen finito. Los segmentos que unen dos caras se denominan aristas y los puntos en los que se cortan varias aristas se llaman vértices.

Podemos encontrar multitud de ejemplos de poliedros en la vida diaria:

-Una caja de zapatos,
-Un libro,
-Un balón de fútbol,
-…

De entre todos los poliedros hay un conjunto de ellos que es especialmente interesante: los poliedros convexos. Este tipo de poliedros cumple que para cada par de puntos que se encuentran dentro del poliedro, el segmento que los une se encuentra también dentro del mismo. 

Por ejemplo, la siguiente figura no sería un poliedro convexo, pues si unimos dos picos de la estrella en una línea imaginaria, ésta queda fuera de la estrella en cuestión:

Los poliedros regulares son un conjunto de poliedros convexos muy particular. 

Veamos por qué.

Tomad un poliedro regular que tengáis en casa (por ejemplo, una caja de zapatos) y contad las caras, las aristas y los vértices del mismo. Entonces tenemos:

                - Nº Caras: 6

                - Nº Aristas: 12

                - Nº Vértices: 8

Ahora, si aplicamos la Fórmula de Euler Poincaré:  

                            C - A + V = 6 - 12 + 8 = 2

Os animo a buscar otros poliedros regulares que tengáis por casa para aplicarles la fórmula mágica!