El Hotel Infinito de Hilbert

El Hotel más grande del mundo

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron para hablar del tema, y la pregunta que más les apremiaba era: ¿cuántas habitaciones tendría el hotel?

"—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.

—Y qué tal si alguien construyera uno con..."

Como otro hotelero podría siempre construir un hotel más grande que el suyo, llegaron a la conclusión que harían un hotel con infinitas habitaciones así, ningún otro hotel jamás construido podría llegar a ser más grande. 

Veamos qué pasó realmente:

Hasta el momento no se ha construido un hotel con infinitas habitaciones, a pesar del empeño del célebre matemático David Hilbert.

No obstante, ¿qué cosas pensáis que son infinitas?
Para mí, el universo, el tiempo y los números. ¿Y para tí?

Homer Simpson contra el Teorema de Fermat

La popular serie Los Simpsons contiene bastantes referencias matemáticas (hay una web dedicada a esto). No en vano cinco de sus guionistas son licenciados o doctorados en Matemáticas, Física o Informática.

Y no sólo nos referimos a la conocida frase "Multiplícate por cero!" de Bart Simpson, sino a otras alusiones para curiosos matemáticos.

Así ocurre en el episodio en que Homer Simpson pasa de su mundo plano a la Tercera Dimensión.

Homer pasea sobre una trama cartesiana tridimensional y al fondo a la izquierda observamos:

1782¹²  +  1841¹²  =  1922¹²

De ser cierta esta igualdad, el Teorema de Fermat, que ha ocupado durante 350 años a los mejores matemáticos de la historia, sería falso. ¿Será posible que Homer Simpson refute este famosísimo teorema? Si hacemos la comprobación en la calculadora, obtenemos:

1782¹²  +  1841¹²  =  2.541210259 · 10³⁹

                1922¹²  =  2.541210259 · 10³⁹

¡Parece que Homer tenga razón! Pero, hagamos los cálculos con todas las cifras:

  1782¹² + 1841¹² =  2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657

      1922¹² =  2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616

El redondeo de la calculadora en la 10ª cifra (en negrita) se produce en el primer caso por exceso y en el segundo por defecto, dando una engañosa apariencia de igualdad.

Alguien se dirigió al artífice de la serie, Matt Groenig, aduciendo que esa igualdad era además imposible porque en su primer miembro aparecen potencias de un número par y de un número impar que siempre son, respectivamente, números a su vez par e impar. Pero en el segundo miembro aparece la potencia de un número par, que a su vez es par. Y es sabido que la suma de un par y un impar no pude ser par.

Como reacción a ese comentario, en un episodio posterior vemos a Homer escribir en una pizarra:

3987¹²  +  4365¹²  =  4472¹²

...donde, impar más impar da par; y se sigue contradiciendo (aparentemente) el Teorema de Fermat.

En ambos casos, se trata de fallos intencionados, ironías de los guionistas (entendidos en Matemáticas)

Podemos ver la escena:

El Tiempo es Relativo

La Paradoja de los Gemelos

"Cuando cortejas a una bella muchacha, una hora parece un segundo. Pero te sientas sobre carbón al rojo vivo, un segundo parecerá una hora. Eso es relatividad". Albert Einstein. 

Desde la adolescencia, Albert Einstein sintió curiosidad por la velocidad a la que viaja la luz.

En su teoría especial de la relatividad, afirmó que todo el movimiento del universo es relativo, porque en el espacio remoto no hay nada contra lo cual se pueda medir.

Einstein estudió el universo y concluyó que la velocidad de la luz es la única constante física del universo. Y si ésta es siempre la misma, independientemente del movimiento del observador, otras propiedades físicas deben variar para la gente que viaje en dirección y velocidad diferentes.

Calculó que en el espacio, el tiempo transcurre más lentamente en una nave espacial que viaje a una velocidad cercana a la de la luz, en comparación con el tiempo percibido por una persona que permaneciera inmóvil con respecto a la nave. Esto último se conoce como Paradoja de los gemelos de Einstein:

Cine y Matemáticas

Innumerables películas han tratado temas con trasfondo matemático. En ocasiones es solamente una escena, en otras, la trama gira en torno a la ciencia de las matemáticas e incluso el protagonista puede ser un matemático conocido.

Aquí os pongo una lista con las películas de carácter matemático, ordenadas según mis preferencias:

1. La Habitación de Fermat (2007)
2. Una mente maravillosa (2001)
3. Cube (1997)
4. El indomable Will Hunting (1998)
5. El Código Da Vinci (2006)
6. El Número 23 (2007)
7. 21 Black Jack (2008)
8. Los Crímenes de Oxford (2008)
9. Cube 2 (2002)
10. Pi (1998)

A continuación os dejo los trailers de mis tres favoritas:

La Habitación de Fermat :

Una mente maravillosa:

Cube:

Calcular la letra del DNI

Criptografía: las matemáticas secretas

Seguro que alguna vez os habéis preguntado por qué os han asignado vuestra letra en el DNI y no otra. Además, si os fijáis, las letras O, U, I y Ñ nunca las veréis en ningún DNI. ¿A qué se debe este hecho? ¿Cómo calculamos la letra de nuestro DNI?

Pues bien, la letra del DNI se obtiene a partir de un algoritmo conocido como módulo 23.

Consiste en dividir nuestro número de DNI entre 23 y tomar el resto de esta división, que será un número comprendido entre 0 y 22. En base a dicho resto y a la siguiente tabla se le asigna la letra a nuestro DNI:

Ahora bien, ¿qué rama de las matemáticas está detrás de todo esto? La criptografía se encarga del estudio de las técnicas de codificado tan presentes en la actualidad en las operaciones financieras (tarjetas de crédito, firmas digitales…). Se utiliza para dotar de seguridad y confidencialidad a las comunicaciones y las entidades que hacen uso de éstas, y va estrechamente ligada a la informática.

Aquí os dejo un vídeo muy interesante sobre la clave de las tarjetas de crédito:

Representa funciones con Google!!!

¿Sabías que Google nos permite representar funciones de manera rápida y sencilla?

Seguro que alguna vez te has encontrado con funciones de este tipo : cos( 3x ) + sen(x)   :S

Pues bien, existen varios programas matemáticos que representan este tipo de funciones y otros gráficos, pero son algo difíciles de implementar. 

Sin embargo, en Google es tan fácil como esto: escribir la función en el buscador tal y como la escribiríamos en el papel, darle al intro y listo!

Veamos algunos ejemplos:

• Si escribimos cos( 3x ) + sen(x) en Google y le damos al intro aparece:

Gráfico de cos(​3*​x)+​sin(​x)

       
También podemos representar varias funciones simultáneamente. Por ejemplo:

Gráfico de x^​2-​1, x^​3, e^​x

• Además, podemos representar en 3 dimensiones!!

  Si queremos representar la parte superior de un cono, sólo tenemos que despejar la          variable de su ecuación implícita y decirle a Google el intervalo que queremos representar:

                                                             sqrt(x^2+y^2) from -10 to 10